quinta-feira, 29 de dezembro de 2011

Números camuflados

Um ótimo livro de Matemática desperta a curiosidade sobre uma porção de números ocultos no cotidiano. Eles estão em construções, flores e até em caramujos.

Por João Luiz Guimarães
Fartas opções em 6 000 anos de história
O poeta português Fernando Pessoa (1888-1935) dizia que uma fórmula matemática poderia ser comparada a uma obra de arte. Agora, com A História Universal dos Algarismos, do matemático francês Georges Ifrah, cujo segundo volume chega este mês às livrarias, você vai acabar concordando com o poeta. Isso sem dizer que vai se divertir, conhecendo, entre outras coisas, números dos quais é pouco provável que já tenha ouvido falar, embora sirvam para explicar relações do dia-a-dia.
De acordo com Ifrah, o homem se vale dos algarismos há 6 000 anos. Os sumérios, na região onde hoje é o Iraque, representavam a escala sexagesimal — com base 60 e não 10, como a que usamos — com figuras parecidas com as de seu alfabeto. A relação com as letras também é nítida nos números romanos — I, V, X, C, L, D e suas combinações. Não é coincidência. Letras e algarismos nasceram juntos.

Amigos do peito
Ao longo dos séculos, os números foram dando uma formidável ajuda a todas as ciências. E tantas aplicações exigiram criatividade na hora de nomear as descobertas. Experimente dar uma olhada num dicionário. Há números amigos, deficientes, transcendentais, abundantes, eqüiprováveis e muitos mais. Uma parte dos nomes só serve para exprimir relações aritméticas, sem utilidade prática. Os amigos, caso típico, são duplas em que um é igual à soma dos divisores próprios do outro e vice-versa. Veja: somando os divisores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110) chega-se a 284. Somando os de 284 (1, 2, 4, 71, 142), acha-se 220. Por isso, 284 e 220 são amigos. Teoria pura, ao menos por enquanto.
Mas há outros números pouco conhecidos que explicam relações corriqueiras. Suspeita-se que o áureo (1,618...) tenha surgido da simples observação do homem por ele mesmo. Como temos relações proporcionais em nosso corpo, era de se esperar que considerássemos harmoniosas as formas que tivessem disposição semelhante. Assim, desde cedo a Arquitetura descobriu e usou as relações áureas, embora elas só tenham recebido esse nome no Renascimento. O responsável pelo batismo não podia ser outro: o genial Leonardo da Vinci, que não por acaso entendia tanto de Estética quanto de Matemática, confirmando a intuição de Fernando Pessoa.

Geometria exigiu novos nomes
O livro de Ifrah também é esclarecedor sobre a origem remota dos números. Na Antiguidade, os pastores costumavam relacionar determinado conjunto de ovelhas a um grupo igual de pedrinhas (calculus, em latim, de onde vem o verbo calcular). Para verificar se alguma havia se desgarrado ao final do dia, confrontavam as duas quantidades. A história dos números deve muito a comparações simples como essa. "Número não é nada mais do que isso: algo que pode estabelecer uma correspondência entre conjuntos e, ao mesmo tempo, representar grandezas", diz José Maria Giroldo, professor de Matemática do Colégio Equipe, em São Paulo.

Linguagem dos deuses
Os algarismos surgiram para dar uma cara à idéia descrita por Giroldo. Lá pelo ano 300 a.C., o grego Euclides estabeleceu os princípios da Geometria, dando origem a conceitos matemáticos mais complexos. Inicialmente, como o próprio nome sugere, o novo campo do saber dedicava-se à medição de terrenos (em grego, geo quer dizer terra e metria, medição). Mas, com a Geometria, a Matemática ganhou maiores aplicações na Arquitetura e nas artes. Antes disso, outro matemático da Grécia, Pitágoras (580-500 a.C.), cuja existência é questionada por alguns pesquisadores, teria dado aos números uma dimensão mística. Achava-se, então, que eles podiam traduzir a linguagem dos deuses.
Embora tenham sido batizados somente em 1882, os números transcendentais trazem em seu nome uma certa referência àquela época. Transcendentais são irracionais que, além de não poderem ser expressos por frações e terem infinitas casas decimais não-periódicas, ainda representam o resultado de uma soma infinita. O p (pi) é o mais conhecido. Produto de uma soma infinita de frações positivas e negativas, ele é representado pela aproximação 3,1416... Não tem nada de mágico, claro, mas, igual a um monte de outros números, carrega uma deliciosa dose de mistério, como a obra artística. Fernando Pessoa estava mesmo certo. Às vezes, Matemática e arte se confundem.

Arquitetura dourada
A relação de ouro pode ser observada na fachada do templo grego Partenon, em Atenas. Ela é um retângulo áureo, isto é, a divisão entre o comprimento e a altura resulta próxima de 1,61 .
O nome é complicado, a definição também, mas, quando vê um exemplo, qualquer um entende o que é um número complexo. Teoricamente é aquele que exprime uma grandeza medida em unidades que não guardam entre si relações decimais. Confuso? Pense então na hora, nos minutos e nos segundos. Eles se relacionam na base 60. Matou? Cabeça
Observe como a linha dos olhos marca uma divisão áurea no comprimento total da face. E também a linha da boca é uma proporção áurea da distância entre a base do nariz e a extremidade do queixo.

Tronco
O umbigo marca um ponto áureo no comprimento do corpo.

Membros
Na mão, o tamanho dos dedos está relacionado de maneira áurea com cada uma das suas articulações.
Uma das características desse tipo de figura geométrica é a de poder gerar um quadrado e deixar como resto um novo retângulo áureo. A operação pode ser efetuada infinitas vezes. 
Se você sobrepuser um pentágono estrelado à azaléia, verá que ela está formada por proporções áureas.
Primeiro os números eram reais (os inteiros, as frações e mesmo os decimais não exatos nem periódicos). Depois surgiram os imaginários: as raízes de negativos, às quais é difícil agregar um conteúdo, mas funcionam. O i ( -1) é um deles. Ele está na fórmula que calcula a corrente elétrica (P = iU, onde P é potência e U é o campo elétrico).
Imagine o 1 seguido de cem zeros. Como você chamaria esse número gigantesco? A resposta é gugol. Só para dar uma idéia, se fosse possível contar todas as gotas de uma tempestade, elas não seriam suficientes para chegar a um gugol. Embora seja enorme, trata-se de um número finito. E muito usado nas medições astronômicas.
Conhecidos desde a Antiguidade, acreditava-se que os transcendentais, números que resultam da soma de infinitas frações, fossem muito raros. Daí o nome. Mas o matemático russo Georg Cantor (1845-1918) demonstrou que no intervalo entre dois inteiros existem infinitos transcendentais. Os mais famosos são o p (3,1416...) e o e (2,718...).
A curva da espiral cresce de acordo com a fórmula Z = remu. Z é o vetor; r é o raio; e, como sabemos, é 2,718...; m é uma constante; e u é o ângulo entre o eixo e o vetor. Confira ao lado.

Este é pau para toda obra
Como todo transcendental, o número e, representado pela aproximação 2,718..., é o resultado de uma soma infinita (1 + 1/1 + 1/2X1 + 1/3X2X1 + 1/4X3X2X1 + 1/5X4X3X2X1.....). Ele foi batizado por Leonard Euler (1707-1783) — o e vem do sobrenome Euler. Hoje é utilíssimo para descrever o comportamento de tudo o que cresce, pois participa da função exponencial y = ex. Esta, como qualquer outra função, expressa a relação entre duas variáveis, mostrando, quando uma muda, como a outra vai reagir. Assim, as funções ajudam a calcular desde juros até a velocidade da queda do poder radioativo dos materiais (meia-vida), como é o caso dessa (y = ex) que usa o e.
Primus é uma palavra latina que significa primeiro e único. Ela foi escolhida para denominar o grupo dos números inteiros divisíveis apenas por si mesmos e pelo 1. Se é inteiro e não é primo, trata-se de um composto, ou seja, pode ser dividido por outros números. Tudo isso, claro, você aprendeu na escola. O que você provavelmente não sabe é que os primos são utilíssimos na produção de códigos secretos para computadores. Criam-se fórmulas com o produto entre dois primos gigantes, gerando um monumental número composto. O segredo só será desvendado por quem descobrir os dois primos usados. Como são números astronômicos, com mais de 100 dígitos, a operação é muito difícil. O maior primo conhecido até 1990 era 391 581 x 2 216 091 . Para calculá-lo, foi necessário que um computador trabalhasse por mais de um ano.
Os antigos sabiam medir áreas compreendidas entre linhas retas. Para avaliar terrenos circulares, eles faziam comparações com a área do quadrado, problema que ficou conhecido como a quadratura do círculo, um dos maiores desafios da Matemática. Na busca da solução, descobriu-se o p (3,1416...), um transcendental que é o resultado constante da divisão do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro. A partir do p, chegou-se à fórmula da área, que é a = pr2, onde r é o raio.
Olhando uma estante de papiros, o grego Eratóstenes (276-194 a.C), montou a primeira tábua de primos. Para achar os primos até 1 000, elimine os escaninhos múltiplos de 2, depois os de 3 e assim por diante até 31. Quando tiver riscado os múltiplos de 31 pode parar, você achou todos.

Endereço desta matéria:
http://www.superinteressante.com.br/superarquivo/1997/conteudo_52683.shtml

charge do dia


sexta-feira, 23 de dezembro de 2011

Quantos grãos de areia cabem no Universo?



Arquimedes, matemático grego do século III a.C., gostava de dar asas à imaginação. Certa vez resolveu contar quantos grãos de areia cabiam no Universo! Como os números deste sonho eram muito altos, ele os transformava em potências de 10 e fazia os cálculos com os expoentes. 

Assim, este genial pensador inventou um novo método em que os cálculos demorados e difíceis são feitos através dos expoentes das potências. Por 2 mil anos esta idéia incrível ficou guardada no armário da Ciência, até que surgiram necessidades cotidianas que a fizeram descer da prateleira.

Nos séculos XV, XVI e XVII, com o surgimento do comércio mundial, o homem precisou lidar com os grandes números do mercado internacional: das distâncias navegadas, da quantidade de mercadorias e das altas transações financeiras. Para lidar com estes novos cálculos, a idéia de Arquimedes foi retomada pelo matemático escocês John Napier (1550 a 1617), que sistematizou, assim, o conceito de logaritmo — a função logarítmica — na forma que hoje o conhecemos. 
 

segunda-feira, 19 de dezembro de 2011

A viagem de avião

Em véspera de viagem um fulano manifesta um medo peculiar em matéria de avião:
O de haver um sequestro em pleno vôo.
Um conhecido seu que é técnico em computação e em cálculo de probabilidades, procura tranquiliza-lo:
- Não se preocupe, o perigo é remotíssimo. Já calculei: num vôo como este que você vai fazer, levando-se em conta todos os fatores e circunstancias, a probabilidade de haver um sequestro é uma em 120 mil .
- Uma em 120 mil? – Retrucou ele preocupado – então é muito provável, não viajo de jeito nenhum.
- Se você quer viajar inteiramente a vontade, há um jeito- o outro retornou de seu computador com novos cálculos feitos:
- É só levar um revolver ou uma bomba pra sequestrar o avião. A probabilidade de haver dois sequestradores distintos no mesmo vôo é uma em um trilhão.

Piada de matemático


Um biólogo, um matemático e um teólogo estão parados entre dois pontos de ônibus. Vem um ônibus e na primeira parada sobem 10 pessoas. 100 metros para frente, na segunda parada, 11 pessoas descem do ônibus.
O teólogo: Um milagre!! Um milagre!
O biólogo: Que nada, eles se reproduziram!
O matemático, após pensar alguns segundos: Se mais alguém entrar no ônibus ele fica vazio de novo!