domingo, 12 de junho de 2011

A vida de Isaac Newton e seus estudos sobre CÁLCULO DIFERENCIAL e INTEGRAL.


A pedido do Profº Hadriel que é um dos  seguidores do BLOG: As Maravilhas da Matemática, segue a história de Isaac Newton e seus estudos sobre Cálculo Diferencial e Integral. Espere que todos gostem, quaisquer dúvidas coloquem nos comentários.
A vida de Newton pode ser dividida em três períodos. O primeiro sua juventude de 1643 até sua graduação em 1669. O segundo de 1669 a 1687, foi o período altamente produtivo em que ele era professor Lucasiano em Cambridge. O terceiro período viu Newton como um funcionário do governo bem pago em Londres, com muito pouco interesse pela matemática.
Isaac Newton nasceu em 4 de janeiro de 1643 (quase um ano depois da morte de Galileu) em Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra. Newton veio de uma família de agricultores, mas seu pai morreu antes de seu nascimento. Ele foi criado por sua avó. Um tio o enviou para o Trinity College, Cambridge, em Junho de 1661.
O objetivo inicial de Newton em Cambridge era o direito. Em Cambridge ele estudou a filosofia de Aristóteles (384aC-322ac), Descartes (René Descartes, 1596-1650), Gassendi (Pierre Gassendi, 1592-1655), e Boyle (Robert Boyle, 1627-1691), a nova álgebra e geometria analítica de Viète (François Viète 1540-1603), Descartes, e Wallis (John Wallis, 1616-1703); a mecânica da astronomia de Copérnico e Galileu, e a ótica de Kepler o atraíram. 
O talento de Newton emergiu com a chegada de Isaac Barrow (1630-1677), para a cadeira Lucasiana de matemática em Cambridge.
Durante sua estada em casa, ele lançou a base do cálculo diferencial e integral, muitos anos antes de sua descoberta independente por Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716).
Com a saída de Barrow da cadeira Lucasiana em 1669, Newton, com apenas 27 anos, foi nomeado para sua posição, por indicação do anterior, por seus trabalhos em cálculo integral, onde Newton havia feito progresso em um método geral de calcular a área delimitada por cum curva.
O aparecimento e desenvolvimento do Cálculo Diferencial estão ambos intimamente ligados à questão das tangentes. Desde a época dos Gregos antigos, já se conhecia a reta tangente como sendo uma reta que intercepta uma curva em um único ponto, generalizando a situação observada no caso da circunferência.
A questão de encontrar a tangente a uma curva é, historicamente, de especial importância, pois, ao que parece, foi o que Newton pensou quando teve um insight sobre como utilizar tangentes para estudar o movimento dos planetas. O método para a determinação foi desenvolvido pelo antecessor de Newton, Isaac Barrow, e consistia no limite de uma corda com os pontos aproximando-se entre si.
O cálculo  diferencial e integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido).
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido inicialmente por Isaac Newton e Gottfried Leibniz em trabalhos independentes, o cálculo diferencial ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, pois é a base do cálculo.
A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.
Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área.

O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, percebeu  que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático.
A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 a.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. Eudoxus (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa idéia além, inventando a heurística, que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.
Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.
Coube a Gottfried Wilhelm von Leibniz e a Isaac Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Leibniz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton; hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de "A ciência dos fluxos".
Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo.
Sir Isaac Newton aplicou o cálculo às suas leis do movimento e a outros conceitos matemáticos-físicos.


No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também nesse período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano a ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noçao de integral. Destacam-se matemáticos como Cauchy, Riemann, weierstrass e Maria Gaetana Agnesi, inclusive essa autora foi a primeira a unir as idéias de Newton e Leibniz e escreveu um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral. É dela também a autoria da chamada “curva de Agnesi”.

                                                     Maria Gaetana Agnesi
 O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação".
O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Nessa matéria, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função.
Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim:



 O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.


 Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b).
O símbolo da integração vista acima , é um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:

e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."
            A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:

Aplicações

O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação, estatística, engenharia, economia, medicina e em outras áreas sempre que um problema possa ser modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada.
A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica clássica são interrelacionados pelo cálculo. A massa de um objeto de densidade conhecida, o momento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub-campos da eletricidade e magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: A taxa de variação do movimento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direção. Até a expressão comum da segunda lei de Newton como Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode ser expressada como a derivada da velocidade. A teoria do eletromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo diferencial.
Wilker essa é a sua área de atuação, você já usou essa parte da matemática em questões de física?
A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidade das reações e no decaimento radioativo.
O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, ele pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a reta que melhor representa um conjunto de pontos em um domínio.
Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo ótimo na ramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação, e até mesmo determinar o tamanho máximo de moléculas que são capazes de atravessar a membrana plasmática em uma determinada situação, normal ou induzida, em células.
Flávio essa vai para você que ensina “Biologia”.
Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão.
Na economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo
O cálculo pode ser usado para encontrar soluções aproximadas de equações, em métodos como o método de Newton, iteração de ponto fixo e aproximação linear. Por exemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximar trajetórias curvas em ambientes de queda livre.






A espiral logarítmica da concha do Nautilus é uma imagem clássica usada para representar o crescimento e a mudança relacionados ao cálculo.


Referências: www.ecivilnet.com.br















5 comentários:

  1. Bicho, tu vai ficar doido, que negócio difícil é esse? Kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.
    Valeu pela dica.

    ResponderExcluir
  2. Li certo dia sobre a vida do Newton e sobre o Cálculo Diferencial e o seu uso para explicar as órbitas elípticas dos planetas. Fiquei curioso e agradeço pelo seu esforço, amigão. É complexo, mas um dia aprendo. Abraços e obrigado.

    ResponderExcluir
  3. Uso muito esse tipo de cálculo, porém, te juro que não sabia que se tratava de cálculo diferencial, já que meu curso não especifica isso... ai que ódio de ter terminado Biologia, mas ainda é tempo de aprender, nunca é tarde. Valeu aí pela dica.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  4. Olá Fernando!
    Falou que iria participar do "Carnaval" e cumpriu a promessa! Meus parabéns!
    É assim que o Brasil e a Terra progredirão! Indicação excelente para esse evento promovido pela UBM.
    O cálculo diferencial e o integral ( interessante... o 1º é subtração e o 2º é uma soma! Notou?) desde a sua criação, fez e ainda faz, quanto ao progresso da humanidade, a real diferença da desde aí, para a humanidade, na busca de suas conquistas tecnológicas!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  5. Obg pelos elogios. Eu não tinha reparado a ideia da soma e subtração, gostei da dica. Vou ficar participando do carnaval da UBM, pois é uma forma de divulgar a matemática. Um abraço.

    ResponderExcluir