terça-feira, 16 de agosto de 2011

Investigando Padrões


Vamos começar com uma situação que você achará bem simples. Usando uma calculadora, é fácil você fazer uma tabela como esta, mostrando quociente das divisões de números naturais por 3:
Número N
1
2
3
4
5
6
7
8
Quociente de N : 3
0,333...
0,666...
1
1,333...
1,666...
2
2,333...
2,666...

Examinando a tabela, alguns padrões interessantes podem ser percebidos. Veja:
Os quocientes são de dois tipos: números naturais (inteiros) ou dízimas periódicas; nessas dízimas, ou se repete o algarismo 3, ou o algarismo 6;
Os múltiplos de 3 produzem os quocientes inteiros; os múltiplos de 3, somados com 1 (como 1, 4, 7, 10, 13 etc.), produzem as dízimas do tipo a,333... e os múltiplos de 3, somados com 2, produzem dízimas do tipo a,666...
Comprove com mais alguns exemplos: 1789 : 3 = 596,333...; 1790 : 3 = 596,666... Veja que 1769 é um múltiplo de 3, somado com 1. Se quiser verificar, efetue a divisão.
A situação examinada é simples mesmo, não é? Por outro lado, vale a pena examiná-la. Perceber e explorar padrões e regularidades é uma competência importante na formação científica e artística de qualquer pessoa.


Vamos agora investigar outros tipos de padrões

Veja a tabela abaixo:
Número N
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Quociente de N : 4
4
4,25
4,5
4,75
5
5,25
5,5
5,75
6

Vemos agora o seguinte:
Na divisão dos mútiplos de 4 temos os resultados números naturais, conforme tabela acima.
Quando pegamos os múltiplos de 4 + 1 vemos que o resultado é um número natural acrescido de 0,25 em todos os casos.
Quando pegamos os múltiplos de 4 + 2 vemos agora que o resultado é um número natural acrescido de 0,5 e quando somamos 3 ao múltiplo de 4, o resultado é acrescido de 0,75. É bem interessante os padrões não é mesmo??? Mas vamos continuar...

Veja agora a próxima tabela:
Soma dos números cúbicos
Quadrado da soma de números naturais
13 = 1
(1)2 = 1
13 + 23 = 9
(1 +2)2 = 9
13 +23 +33 = 36
(1 +2 + 3)2 = 36
13 +23 +33 +43 = 100
(1 + 2 + 3 + 4)2 = 100

Percebeu que há uma relação entre somas de números cúbicos e quadrados da soma de números naturais? Por exemplo, adicionando os três primeiros números cúbicos, o resultado é igual à 36 e somando os três primeiros números naturais e elevando o resultado ao quadrado vemos que resulta no mesmo valor.
Pois é, garantimos que esse padrão vale para todas as somas de primeiros números cúbicos.

Veja agora a próxima tabela
Soma dos n primeiros
 números ímpares
1 + 3 = 4= 22
1 + 3 + 5 = 9 =32
1+ 3 + 5+ 7 =16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 =52

Percebeu que a soma de números ímpares, a partir do primeiro, dá números quadrados? Notou que a soma dos dois primeiros ímpares dá 22? Que a soma dos três primeiros ímpares dá 32? e assim por diante?
Esse fenômeno pode ser explicado com uma figura. 
Para começar os números ímpares podem ser representados com figuras em forma de “L invertido”. Veja:

 
Essas Regularidades são estudadas desde os primórdios da sociedade e é muito utilizada hoje em dia  principalmente em contruções onde se buscam padrões para enfeitar e harmonizar os ambientes. Os gregos utilizaram padrões em muitas de suas construções.

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