quarta-feira, 18 de janeiro de 2012

A matemática do som

O que os logaritmos, que tanto assustam na escola, têm a ver com a Música.

 

por Luiz Barco

Em abril tomei posse na Academia Paulista de Educação e a festa foi precedida por duas apresentações musicais. No meio de tanta emoção, até me assustei quando um jovem pianista, ao cumprimentar-me, perguntou se poderia fazer uma pergunta que há anos o intrigava.
“Quando eu era menino”, começou, “não gostava muito de Matemática. Mas meu irmão mais velho assinava a SUPER e teimava em ler para mim os seus artigos. Em geral eu não via neles muito interesse, até que um dia ele leu uma frase que me fascinou. Era algo assim: “Tocar piano é como dedilhar sobre os logaritmos’. O que o senhor quis dizer com isso?”
Ele falava do texto “O piano e a tábua de logaritmos”, publicado em abril de 1988. “Esse logaritmo que tem a ver com música é aquela coisa que eu estudei no colegial e que até hoje não sei direito do que se trata?”, perguntou o pianista.
Imediatamente me lembrei das palavras de John Napier (1550-1617), o inventor dos logaritmos. “Na medida das minhas possibilidades”, ele disse, “proponho-me a evitar as difíceis e aborrecidas operações do cálculo, cujo tédio constitui um pesadelo para muitos dos que se dedicam ao estudo da Matemática.” Pierre Simon Laplace (1749-1827), astrônomo, matemático e físico francês, aplaudiria a tremenda ajuda: “Com a redução do trabalho de cálculo, de vários meses para uns dias, o invento dos logaritmos parece ter duplicado a vida dos astrônomos”.
Aquela coisa, portanto, que muita gente estuda e acaba sem entender é incrivelmente importante. Só para rememorar: você certamente conhece uma operação matemática chamada potenciação. Por exemplo, 53 = 125, isto é, a base 5, elevada ao expoente 3 resulta na potência 125. Ou seja, 53= 5x5x5 = 125.
Se em uma potenciação conhecemos a base (5, no caso) e a potência (125), a operação que permite encontrar o expoente que devemos atribuir à base para obtermos a potência é o que denominamos logaritmo. Assim: log5 125 = 3, pois 53= 125. O logaritmo de 125 na base 5 é o 3, pois 3 é o expoente que temos que atribuir à base 5 para obter a potência 125.
Quando algo varia com o expoente, usamos o logaritmo para expressar tal variação. Sabe-se, por exemplo, que a força física envolvida em certos sons (para sermos mais precisos, a energia) é uma potência cuja base é 10. Assim, enquanto o leve rumorejar das folhas é da ordem de 101, uma conversa em voz alta é algo como 106,5 e um martelo sobre uma lâmina de aço chega a 1011.
Os ruídos industriais afetam a saúde e a produtividade dos operários e, por essa razão, estabeleceu-se um método para medi-los.
A intensidade de um som, expressa em bels, é o logaritmo decimal (na base 10) de sua intensidade física.
Assim, enquanto o rumorejar das folhas é de 1 bel, o som de um martelo sobre uma lâmina é de 11 bels. Sabe-se que um ruído superior a 8 bels é prejudicial ao organismo humano e esse limite deveria ser respeitado.
O filósofo e psicólogo alemão Gustav Theodor Fechner (1801-1887) estabeleceu a lei psicofísica que se tornou conhecida como a lei de Veber-Fechner: “A sensação varia com o logaritmo da excitação.” São os logaritmos invadindo o campo da Psicologia, como já invadiram a Astronomia, a Economia, a Química, a Música, a Biologia etc.
Em tempo: você certamente já ouviu falar da unidade decibel (um décimo de bel) usada para representar a intensidade dos sons. O rugido de um leão é da ordem de 8,7 bels ou 87 decibéis (ou decibels, como preferir). Assim, quando você estiver muito bravo, não ruja como um leão, senão vai estar 7 decibéis acima do tolerável.



Fonte: Revista Superinteressante.

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