quinta-feira, 22 de março de 2012

Nó da matemática


Em um simples laço podem se esconder os segredos da matéria

por Érica Montenegro


Um certo William Thomson inventou essa história. Em 1860, esse físico irlandês idealizou um modelo para a estrutura dos átomos. À época, existiam duas correntes que tentavam descrever a matéria. Uma dizia que toda ela era formada por pequenos corpos rígidos, a outra sustentava que era constituída por ondas. Alguns fenômenos da natureza reforçavam a primeira teoria, outros davam razão à segunda. No geral, nenhuma das duas parecia muito certa. Thomson unificou ambas com uma idéia engenhosa: a matéria não é formada nem de corpúsculos sólidos nem de ondas. Ela é feita de nós. Nós: não o pronome da segunda pessoa do plural, mas aqueles prosaicos arranjos de cordas no espaço que usamos para fixar gravatas e firmar sapatos.
De acordo com a teoria de Thomson, o Universo é formado por um imenso oceano de um fluido invisível chamado “éter”. Os átomos seriam como vórtices nesse fluido. Cada vórtice seria como um nó. Os elementos químicos seriam então os diferentes tipos de nós. O átomo de carbono não passaria de um nó trevo, o oxigênio seria um nó oito e assim por diante.
Era uma teoria interessante, que fez sucesso por algumas décadas. Vinte e cinco anos depois, nasceria o dinamarquês Niels Bohr, o físico que ganhou o prêmio Nobel de 1922 pela criação daquele modelo atômico que estudamos no colégio, com elétrons girando sem parar em volta de núcleos formados de nêutrons e prótons. Bohr mostrou que não havia nó nenhum no coração da matéria. Thomson ficaria na história – não com seu nome de batismo, mas com o título de nobreza que recebeu em 1866 da rainha Vitória, da Inglaterra: lorde Kelvin. Ele foi um pioneiro da termodinâmica, concebeu a lei de conservação de energia e criou a escala de temperatura absoluta – depois batizada de escala Kelvin. Mas sua teoria dos nós passou bem longe do alvo. E, depois disso, foi esquecida pelos físicos.
Não serve pra nada?
Mas nem todos os cientistas esqueceram a teoria dos nós. Alguns deles continuaram fascinados por ela. Em especial, os matemáticos. Para eles, um nó não é um cordão enrolado, é “uma curva no espaço, fechada e que não se auto-intersecta”. Nós são arranjos espacias únicos e a vida de alguns matemáticos – em especial aqueles dedicados a uma área chamada “topologia” – é estudar arranjos espaciais. Matemáticos têm mesmo um jeito estranho de ver o mundo.
Um deles, por exemplo, o americano J.W.H. Alexander, descobriu nos anos 1920 que nós nada mais são do que a junção das duas pontas de uma trança. Explica-se: pegue uma tesoura e corte a trança de sua irmã. Depois, junte as extremidades, talvez com superbonder. Os nós científicos não passam disso. (Para não causar um incidente familiar, o experimento pode ser feito com aquelas tranças de mussarela).
Tranças, menina, mussarela... Certo, até que é bonitinho. Mas para que serve isso mesmo? Bem... Não serve para nada. Mas serve para tudo também. “A matemática estuda tudo e nada, ao mesmo tempo”, diz o russo Alexei Sossisnky, autor de Knots – Mathematics with a Twist (“Nós – Matemática com uma Torcidinha” sem versão para o português). Nada, porque os matemáticos ocupam-se apenas de abstrações, como números, equações diferenciais, polinômios, figuras geométricas. Tudo, porque qualquer coisa, qualquer objeto da realidade material, pode ser explicado de acordo com os teoremas matemáticos. Basta que os cientistas descubram a lógica à qual elas obedecem.
A matemática é a ciência básica por excelência. Em geral, os matemáticos não se preocupam com aplicações práticas, mas sim com a construção do conhecimento. E, pelo amor de Deus (ou de Newton), não questione a utilidade disso. Lembre-se de que tanto o computador no qual escrevo essas linhas quanto o walkman no qual você escuta música jamais existiriam sem a ciência básica. Pois então. Desde a humilhação de Kelvin e de seu modelo de matéria, a teoria dos nós foi relegada a esse reino, o da ciência básica.
Como bem conhecem marinheiros, alpinistas e escoteiros, há dezenas, centenas de tipos de nós, com nomes singelos como frade, simples, oito, ladrão... Há até um nó de nome “singelo”. Os nós estudados pelos matemáticos da teoria dos nós são esses mesmos. Só que eles estão em um plano abstrato. A linha que os amarra, por exemplo, pode ser infinita. E também finíssima, permitindo inúmeros cruzamentos e amarras.
A partir daí, os nós são usados para descrever nosso mundo, de modo semelhante ao que fazemos com os números. Lembre-se que números também são abstrações, idéias criadas pelo homem, só que a lógica que eles seguem é perfeita a ponto de fornecerem a medida de praticamente tudo. Pense na sua saúde financeira ou no último exame de sangue. Sem números seria impossível medir essas coisas.
A idéia dessa área da ciência é usar nós para abstrair conceitos que não podem ser reduzidos a números – e, assim como eles, os nós poderiam ser usados para “traduzir” a natureza. Isso não é fácil porque as propriedades matemáticas dos nós nem foram completamente definidas, como as dos números. Até hoje não existe, por exemplo, uma forma de colocar nós em ordem crescente ou decrescente. Também não há uma regra que consiga diferenciar, em todos os casos, um nó de outro. Está justamente aí o grande desafio dos pesquisadores. Enquanto essas coisas não forem resolvidas, não haverá uma “teoria geral dos nós” e ficará difícil encontrar aplicações para essa ciência.
Isso apesar dos esforços de Horst Schubert, o alemão que, no final dos anos 1940, descobriu relações intrigantes entre os nós e a aritmética. Por exemplo, ele percebeu que a “soma” de um nó com outro (chamada composição) é similar à multiplicação matemática. Há, por exemplo, um nó parecido com o número 1 da multiplicação (o nó trivial). Ou seja, ele pode ser “associado” a qualquer outro nó sem alterá-lo, assim como 2 x 1 = 2. Os nós também podem ser fatorados em “primos”, aqueles números (2, 3, 5, 7, 9, 11...) que só são divisíveis por 1 (ou por um “nó trivial”) e por eles próprios.
Schubert demonstrou também que certas propriedades numéricas não existem para os nós (ou estão ainda além de nossa compreensão). Uma delas, já contada aqui, é a de que eles não têm ordem crescente nem decrescente. Outra é que não podem ser divididos em partes unas (4 = 1 + 1 + 1 +1). Por isso mesmo, embora úteis para sua compreensão, os estudos do alemão não serviram a uma classificação total dos nós. Seus colegas, na época, viam Schubert como um adepto da “arte pela arte”, cujo campo de estudo, por mais interessante que fosse, não nos levaria a lugar nenhum.
Outro pesquisador importante da área foi o igualmente alemão Kurt Reidemeister. Reidemeister avançou muito nas pesquisas ao inventar um jeito novo de estudar nós. Sua idéia foi torná-los bidimensionais – ou simplesmente projetar sua estrutura tridimensional em uma folha de papel, facilitando sua compreensão. No final dos anos 1920, o alemão percebeu que alguns movimentos se repetem sempre que se tenta transformar um nó em outro. Nasceram aí os famosos (entre os matemáticos) “movimentos de Reidemeister”.
Nós genéticos e quânticos
Pois justo quando os cientistas começaram a acreditar que os nós não passam de ciência básica, sem aplicação prática, algumas pesquisas começaram a mudar essa maré. Em 1973, um matemático inglês ocupado em descrever o comportamento dos nós propôs um experimento imaginário que envolvia a prosaica dupla tesoura-e-cola. John Conway resolveu alterar a orientação dos cruzamentos de um nó cortando e colando os fios que o compõem.
É uma brincadeira fácil, basta que você imagine um cruzamento de fios como um “X”. Um “X” é composto por dois traços na diagonal, um sobre o outro, certo? Então, você corta o traço que está por baixo, transfere-o para cima e depois cola de novo. Pronto, você alterou o cruzamento dos fios e realizou o primeiro dos movimentos de Conway, chamado de flip. O segundo, smoothing, é ainda mais simples. Você corta os traços do “X” e depois cola os dois separadamente, então o cruzamento é desfeito e você obtém dois traços assim: )( . Essas operações podem ser aplicadas a todo e qualquer nó. Conway estava interessado em “ciência pura”. Não passava por sua cabeça que algo “útil” saísse daí. Mas...
Seus movimentos são idênticos aos que acontecem na fita do DNA (estimulados por enzimas) na hora da troca de material genético. E isso quer dizer que, se algum dia o comportamento dos nós for desvendado por completo pela teoria matemática, há grandes chances de os biológos conseguirem terminar de montar o quebra-cabeça da genética.
Mas outra descoberta chocou ainda mais os cientistas – em especial os físicos, aqueles mesmos que renegaram a teoria dos nós de Kelvin. Sabe quando um comentarista esportivo dispara o clichê “essas coisas só acontecem no futebol”, como quando um sujeito marca um gol contra e, logo em seguida, salva seu time com o gol de empate? Pois então, a história que segue é um daqueles casos “que só acontecem na ciência mesmo”. Tem a ver com os quanta (plural de quantum), a base da física quântica. Os quanta são a menor quantidade de qualquer coisa possível no Universo – sua existência nunca foi verificada experimentalmente, mas é prevista pela teoria. Eles são ainda mais básicos – e menores – que os elétrons, prótons e nêutrons que compõem o modelo de átomo de Niels Bohr.
Pois uma dupla de cientistas – C.P.N. Yang e R.J. Baxter – , um estudando grupos quânticos, outro procurando entender o comportamento dos gases, descobriu independentemente uma mesma equação: a equação de Yang-Baxter, que ajuda a explicar os movimentos desses misteriosos quanta. Pois bem, os dois chegaram à conclusão de que esses movimentos são idênticos a um daqueles descritos pelo matemático alemão Reidemeister nos anos 1920. Ou seja: os quanta se comportam como nós!
O mais legal é que o principal criador da física quântica foi justamente o mesmo Niels Bohr que derrubou a teoria dos nós do lorde Kelvin. No final das contas, por meios tortos, Bohr acabou devolvendo aos nós o privilégio de ajudar a explicar toda a matéria que existe no Universo. Depois de tudo isso peço que você, caro leitor, preste mais atenção ao atar o cadarço do seu sapato. Ali pode estar a chave de uma revolução científica.


Fonte: Revista Superinteressante

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