segunda-feira, 21 de abril de 2014

PRINCÍPIO DAS GAVETAS ou PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBOS

Muitos problemas atraentes de matemática elementar exploram relações entre conjuntos finitos, expressas em linguagem coloquial. Parte de sua atração vem justamente do fato de que podem ser formulados e, muitas vezes, resolvidos sem recorrer a fórmulas ou a técnicas complicadas. Vejamos um exemplo simples ilustrativo desses problemas.
Exemplo: Qual é o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que entre elas há pelo menos duas que fazem aniversário no mesmo mês? Solução: A resposta é 13. Se houvesse apenas 12 pessoas, seria possível que cada uma delas fizesse aniversário em um mês diferente. Com 13 pessoas, há , obrigatoriamente, pelo menos um mês com mais de um aniversário (se houvesse, no máximo, um aniversário por mês, o número de pessoas presentes seria, no máximo, 12). 

O argumento empregado acima é conhecido como PRINCÍPIO DAS GAVETAS (de Dirichlet) ou PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBOS. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte: Se n objetos forem colocados em, no máximo, n ­– 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. (Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.) 
       (Paulo Cezar Pinto Carvalho – IMPA) Este princípio é muito recorrente em concursos públicos. 

Fonte : http://bettonunes.blogspot.com.br/2011/01/principio-das-gavetas-ou-principio-das.html



1) Se tivermos um grupo de 13 pessoas, então com certeza duas delas fazem aniversário no mesmo mês e se grupo aumentar para 32 pessoas, podemos afirmar também que existem no mínimo duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia.

Solução: Pelo princípio da casa dos pombos, se houvesse mais 13 pessoas do que meses 12 é certo que pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês e a explicação é análoga para o dia do mês.

2) Dado um cubo de lado 2 , mostre que ao marcarmos 9 pontos em seu interior, a distância entre pelo menos dois deles é menor ou a raiz de 3 .

Solução:
 Para cada par de faces opostas desse cubo, tomamos um plano paralelo a essas faces e que passa pelo centro do cubo. Serão [;3;]planos que dividirão esse cubo em [;8;]cubinhos de aresta 1.
Cada um desses cubinhos será uma casa dos pombos e como temos 9 pontos, então pelo menos 2 pontos estarão no interior ou na superfície um cubo de aresta 1. Sendo a maior distância entre dois pontos quaisquer num desses cubinhos igual ao comprimento da diagonal do cubo, ou seja raiz de 3 , temos o resultado desejado.

3) Todos os pontos de um plano são pintados de azul ou vermelho. Prove que podemos encontrar dois pontos da mesma cor que distam exatamente 10 cm .
Solução: Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a 10cm. Como são duas cores (casas) e três pontos (pombos). Pelo princípio da casa dos pombos teremos dois da mesma cor.
Embora este princípio parece simples, mas é através dele que pode demonstrar resultados possivelmente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milhão de habitantes) existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo.

Referência Bibliográfica:

1)Blog Cultura e Lazer
2) Oliveira, Anjolina Grisi de. Princípio da Casa dos Pombos. Centro de Informática, UFPE.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 25.7.09

sábado, 19 de abril de 2014

As profissões mais promissoras até 2020

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Em 2012 a revista Forbes, fez um levantamento para descobrir quais as graduações mais valiosas até o fim da década.
O estudo, feito pela empresa PayScale nos EUA, avaliou o mercado de trabalho que os graduandos terão, bem como seus salários. Confira as graduações que mais devem dar retorno para os formandos nos próximos anos:
  1. Engenharia Biomédica
  2. Bioquímica
  3. Ciência da Computação
  4. Engenharia de Software
  5. Engenharia Ambiental
  6. Engenharia Civil
  7. Geologia
  8. Sistema de Gerenciamento de Informação
  9. Engenharia de Petróleo
  10. Matemática aplicada
  11. Matemática
  12. Gerenciamento de construção
  13. Finanças
  14. Física
  15. Estatística
A informação é da coluna guia do estudante da VEJA
Fonte: http://www.matematicagora.com.br/as-profissoes-mais-promissoras/

Biografia do Matemático Jonofon Serates

Vi alguns vídeos desse grande matemático brasileiro no programa do Jô Soares que se encontra no Youtube e fiquei interessado na sua biografia. Fiquei triste em saber que ele morreu a alguns anos, mas ao mesmo tempo fiquei muito alegre em ver a história de um grande professor de matemática que inclusive trabalhou com um dos grandes matemáticos brasileiros que foi Júlio César de Melo mais conhecido pelo pseudônimo Malba Tahan. Segue a Biografia desse grande brasileiro que serve de inspiração para aqueles que apreciam a matemática. Vou colocar após o texto os links dos vídeos que encontrei no youtube.

José Nogueira Fontes, mais conhecido como Jonofon Sérates. O lagartense,bacharel, mestre e doutor em Matemática, morou em Brasília por muitos anos e se destacou no cenário nacional ao conceder duas entrevistas no programa de Jô Soares e em outros programas de televisão - como o do apresentador Ratinho.

Segue um artigo da Revista ISTOÉ, de 9 de setembro de 1998
Pode acreditar. A Matemática não vai ser mais a mesma depois de JonofonSérates. Esse professor vem revolucionando a ciência que é considerada um verdadeiro terror nas escolas. Jonofon criou o método do Raciocínio Lógico de ensino, que prefere chamar de "Cuca Legal". Por ele, uma pessoa comum é transformada em poucas horas num papa em Matemática ou quase isso. Jonofon diz mais: o Raciocínio Lógico é cheio de desafios e prepara o ser humano para o próximo milênio. "Até agora tivemos o século das máquinas e da tecnologia. O primeiro século do próximo milênio vai ser o do pensar. Vai vencer aquele que tiver instrumental, pensamento lógico, quem for criativo e inovador", sentencia o professor.
Jonofon diz que a escola está gagá, com currículos de 50 anos atrás. "O professor continua em sala de aula com cuspe e giz, a despeito de toda a tecnologia", afirma. Ele lembra que os fatores externos à escola são fontes motivadoras muito mais fortes e que os alunos não gostam da Matemática porque não a entendem. "Matemática não é decoreba." Jonofon detectou que os estudantes sofrem quatro doenças matemáticas: tabuadite aguda, fraçãozite grave, virgulite e a quarta é uma epidemia - raciocínio lento e preguiçoso. "Nunca se precisou tanto de raciocínio lógico como nos dias de hoje", acredita ele. Mas quem é JonofonSérates? Ele foi batizado José Nogueira Fontes, um sergipano (de Lagarto) que mora em Brasília há mais de 30 anos e é bacharel, mestre e doutor em Matemática. Quando fez o vestibular para a Universidade Federal de Sergipe, foi o primeiro lugar geral e acertou 99 das 100 questões de Matemática. Hoje é professor dos cursos de Pós-Graduação da Fundação Getúlio Vargas, mas vive também de escrever e de fazer palestras.
Perguntado sobre sua idade, o professor diz que tem dois elevado à sexta potência. Depois entre risadas, facilita: "Oito ao quadrado." Para quem ainda não descobriu, dá 64 anos. Jonofon ficou conhecido em todo o Brasil depois de duas entrevistas no Jô Soares onze e meia, com intervalo de apenas 14 dias entre elas, nos dias 14 e 28 de julho passado. "Em dez anos de programa, nunca tive de convidar de novo uma pessoa em tão pouco tempo", disse Jô, reforçando o "fenômeno Jonofon". Autor de 12 livros - o mais famoso Raciocínio lógico matemático (Editora Olímpica), já na quinta edição -, Jonofon foi aluno e assistente de Malba Tahan, o autor de O homem que calculava e de outras 115 obras. Foi Tahan quem transformou José Nogueira Fontes em JonofonSérates. O sergipano escreveu um artigo, chamado "Amor geométrico", em que um hexaedro enamorou-se de uma esfera. Malba Tahan, que o chamava de Fontes, leu, gostou e o levou para ser publicado no Correio da Manhã (em 1956, o jornal de maior circulação do Rio de Janeiro). "Eu assinei como José Nogueira Fontes. No domingo, encontrei o artigo de Malba Tahan, mas o meu não havia saído. Eu fui à casa dele e contei. Ele riu e disse: ‘Eu sabia que não ia sair, porque quando eu era Júlio César de Melo e Souza meus artigos também não saíam. Quando eu passei a ser Malba Tahan, todo artigo que eu escrevia o jornal aceitava.' Ele mudou meu nome", lembra.
Malba Tahan pegou o JO de José, o NO de Nogueira e o FON de Fontes, fez Jonofon. Em seguida, ele pegou as últimas sílabas de JoSÉ, NogueiRA e FonTES e fez Sérates. "Ele disse: ‘Pronto, agora você é espanhol, de origem grega, nascido em Sergipe.' Virei JonofonSérates", explica. Lembra que a Matemática não é só números. "Antigamente, estudava-se Lógica para aprender Filosofia. Depois, a Matemática, para aprender as outras ciências. De Isaac Newton para cá, a Matemática foi se aproximando da Lógica. Com a Filosofia moderna, aproximaram-se mais ainda. Ninguém ama a vida mais do que eu, porque eu amo a vida matematicamente", afirma. Ele começou a estudar Matemática com prazer aos 12 anos, no grupo escolar, onde havia sabatina e palmatória. "Eu não queria apanhar, queria bater, então estudava a tabuada para bater nos colegas. Havia uma motivação negativa imposta pela régua, pelos castigos." Depois, notou que fazia todos os tipos de conta, mas não tinha facilidade na resolução de problemas. "Procurei entender a lógica e aí pude compreender melhor as belezas da Matemática. É o aprender que faz gostar", frisa Jonofon.
Para aplicar sua teoria, Jonofon esteve até na África. Foi mandado pelo Ministério da Educação e lá passou seis meses. Deram-lhe uma turma de 30 alunos e ele garantiu que em 50 minutos todos teriam aprendido a tabuada de multiplicar. "Só gastei 40 e eles aprenderam. É a metodologia "jonofoniana", própria para ensinar tabuada", festeja o professor, que desde 1979 vem desenvolvendo o "Cuca Legal".
Ao compreender a lógica, pude entender melhor as belezas da Matemática
Jonofon Sérates
Fonte:
ISTOÉ, de 9 de setembro de 1998

Vídeos do Youtube: Método cuca legal - MCL

terça-feira, 8 de abril de 2014

Robert Recorde

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Matemático e médico inglês nascido em 1510, no País de Gales, filho de Thomas Recorde e Rose Jones. Morreu no ano de 1558, em Londres. Um ano antes de sua morte, publicou seu mais citado livro, o Whetstone of Witte (1557), empregando pela primeira vez os nossos atuais sinais de adição e subtração, com essa finalidade de somar e subtrair e também o sinal de igualdade. O símbolo de igualdade nem sempre foram os traços paralelos a que tanto estamos acostumados. No século XVI, François Viète foi o primeiro a usar a palavra aequalis, e mais tarde o sinal ~, para denotar a igualdade. A criação do atual símbolo da igualdade ( = ) deve-se ao Robert Recorde.

Sobre esta criação do sinal da igualdade, diz a história, que Robert Recorde estava debruçado sobre uma folha repleta de números e letras, com uma pena na mão, desenhando um tracinho horizontal. Bem acima, desenhou um segundo traço do mesmo comprimento, rigorosamente paralelo. Olhando demoradamente para o que tinha feito, sentiu orgulhoso e satisfeito pelo sinal que se  tornaria com um dos mais usados na Matemática. Este sinal de igualdade circulou rapidamente entres os matemáticos do mundo. Quando perguntavam a ele como tinha criado o símbolo, ele respondia:
"Se escolhi um par de paralelas, é porque elas são duas linhas gêmeas, e nada é mais semelhante que dois gêmeos".

Estudou e graduou-se em Matemática em Oxford e em Cambridge, tornando-se posteriormente professor nestas instituições universitárias. Graduou-se em Medicina em Cambridge (1545), tornando-se médico do rei Edward VI e da rainha Mary.

Seu primeiro livro, Grounde of artes (1541), sobre aritmética popular com aplicações comerciais, teve mais de vinte e cinco edições. Publicou Castle of Knowledge (1551), sobre astronomia e Pathewaie to Knowledge (1551), o primeiro livro sobre geometria escrito em inglês.

Fonte: http://www.matematica.com.br/site/index.php?option=com_content&view=article&id=787:robert-recorde&catid=40:biografias&Itemid=183

Que soma é esta?

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Dez e dez não são vinte. 
Mas mais cinquenta são onze.
Que soma é esta?