sexta-feira, 24 de julho de 2015

Buscando a solução de três célebres problemas matemáticos.

Por Luiz Barco
Aos antigos gregos se atribuem três célebres problemas matemáticos: a trissecção do ângulo (divisão do ângulo em três ângulos da mesma medida), a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Durante muito tempo, eles foram responsáveis por uma mania da qual não escaparam alguns homens de ciência, prontamente acompanhados por uma multidão de insensatos e sonhadores: todos querendo achar a solução com régua e compasso. Essa busca teve sentido até que se estabeleceu uma relação que mostrava a correspondência entre as soluções das equações algébricas e as resoluções de problemas geométricos com esses instrumentos. Assim, as resoluções geométricas, baseadas no espaço físico, foram substituídas pelas soluções algébricas, resumidas a fórmulas e números, o que permite chegar a resultados impossíveis de visualização física.
Dessa maneira, os três problemas, embora de natureza ligeiramente diversa, tiveram suas chances de solução geométrica definitivamente sepultadas. O novo sistema de resolução foi reforçado graças ao trabalho de dois matemáticos: o jovem e brilhante francês Évariste Galois (1811-1832) e o alemão Ferdinand von Lindemann (1852-1939). O primeiro escreveu um trabalho que revelou ser impossível executar a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo com régua e compasso. Já o segundo demonstrou, em 1882, que o número tt (pi) é irracional transcendente, descartando também a idéia da quadratura do círculo com tais instrumentos. Isso, porém, não diminuiu o ardor dos quadradores do círculo, que até hoje oferecem bizarras tentativas de soluções sempre rejeitadas por publicações matemáticas.
Assim, vi com surpresa a notícia, respaldada por uma publicação séria, sobre o trabalho do renomado matemático húngaro Miklós Laczkovich da Universidade Eötvös Loránd, de Budapeste, em que diz ser possível a quadratura do círculo.
Laczkovich baseia-se na idéia de que um círculo (o interior mais a borda) pode ser cortado num número finito de peças, as quais podem ser rearranjadas na forma de um quadrado com a mesma área. Assim, não apenas o círculo poderia ser enquadrado como também uma grande variedade de figuras. Por que uma idéia tão simples levou tanto tempo para ser usada, causando tanto impacto? Ocorre que as peças são teóricas e suas formulações exigem alta matemática de domínio sofisticado e restrito. A primeira versão dessa idéia foi apresentada em 1925 pelo matemático polonês Alfred Tarski (1902-1983). Um ano antes, ele e seu compatriota Stefan Banach (1892-1945) provaram que existe uma forma de dividir uma esfera grande, como um planeta, em partes separadas, sem pontos em comum, e a seguir, sem comprimir ou distorcer, montá-la em outra esfera do tamanho de uma bola de gude. Esse resultado, que beira o inacreditável tanto para leigos quanto para matemáticos, repousa na natureza das peças.
Elas não são pedaços sólidos com fronteiras precisas e sim partes difusas e entrelaçadas, cujo volume individual é impossível medir. Somente quando as peças são rearranjadas é que o sólido resultante tem volume mensurável. Tal mágica não é aplicável a figuras planas e aí qualquer reorganização dessas figuras terá sempre a mesma área, já que contidas no mesmo plano. Uma das razões dessa diferença é que os objetos tridimensionais (um cubo, uma esfera) possuem muitos eixos possíveis de rotação. Faltava provar que figuras planas de mesma área podiam ser rearrumadas umas nas outras. Esse é basicamente o resultado do trabalho de Laczkovich, que não se restringe a círculos e quadrados, mas a qualquer figura que tenha fronteiras limitadas. E o mais surpreendente: as peças não precisam girar. Basta movimentá-las vertical e horizontalmente. Porém, se você está entusiasmado com o paradoxo de Banach-Tarski e pensa usá-lo para arrumar a mala na próxima viagem, ou então pegar uma tesoura para cortar as peças de uma figura usando o resultado de Laczkovich, desista. São peças teóricas e como curiosidade saiba que Laczkovich estimou em 1O50 (o número 1 acompanhado de 50 zeros) o número de pedaços do círculo a ser enquadrado.

Fonte: http://super.abril.com.br

Reinventar a Roda - Isto é Matemática


A infinita curva floco de neve

Luiz Barco explica a matemática das curvas patológicas.

Recentemente participei de um seminário sobre "A beleza nas matemáticas". A certa altura, citei uma frase do célebre lógico inglês Bertrand Russell: "O verdadeiro espírito de alegria, de exaltação, o sentimento de ser mais que um homem, que são a pedra de toque da excelência mais elevada, se encontram nas matemáticas como na poesia". Então, fui interrompido por uma jovem professora que perguntava como era possível enxergar de forma tão lírica uma ciência cuja iniciação, literalmente, inferniza a vida da grande maioria dos jovens secundaristas.
Respondi que para se estudar uma ciência era preciso alguma inteligência, mas para transmiti-la com prazer e usá-la com eficiência e alegria era necessário sabedoria. Assim, eu esperava reforçar a idéia que aparece com certa freqüência nesta coluna: as dificuldades não estão na Matemática nem nos que a fabricam, mas em alguns que a difundem. A rigor, nem tudo são flores no jardim da Matemática e um exemplo são as chamadas curvas patológicas. Antes, porém, vejamos como se comporta uma curva normal: a circunferência será tratada como o limite de uma seqüência de polígonos assim. Dessa forma, a circunferência é o limite para o qual tendem os perímetros dos polígonos C¹ (triângulo), C2 (hexágono), C3 (do decágono) etc, que são cada vez maiores, mas limitados pelo comprimento da circunferência, que é 2 x tt x r (r, a medida do raio).
Iniciemos então a curva patológica também com um triângulo equilátero, o FN1
. Vamos dividir cada lado em três partes iguais.
. Na terça parte do meio de cada lado construamos um novo triângulo eqüilátero apontado para fora.
. Apaguemos as partes comuns no antigo e nos novos triângulos.
Esta nova curva (poligonal) estrelada será chamada FN2. . Vamos dividir em três partes iguais cada lado da curva FN2 e, novamente, construir um triângulo eqüilátero apontando para fora, no terço médio de cada lado. Apagamos as partes comuns às figuras antiga e nova e obtemos uma nova curva, a FN3.
Ao repetirmos o processo na FN3 para obtermos FN4 e assim por diante (FN5, FN6 etc.), as curvas, em seus sucessivos estágios, tomam a forma que recebeu o nome de floco de neve. Na curva normal, os polígonos têm seus perímetros aumentados a cada -nova construção, mas o limite é dado pela circunferência. Já a curva floco de neve possui uma propriedade surpreendente: se o lado do primeiro triângulo (FN¹) tiver uma unidade, seu perímetro será 3 unidades; o perímetro da FN2 será 4 unidades ou 3+1; o da FN3 será 3+1+4/3 Com um cálculo simples encontramos para o perímetro da FN4 o valor 3+1+4/3+4²/3² unidades. Prosseguindo, veremos que para FNn uma boa expressão será:
3+1+4/3+4²/3²+4³/3³+-+4(n-2)/3(n-2)
A cada nova construção o perímetro fica maior em mais que uma unidade, isto é: a soma dos termos de progressão geométrica de razão 4/3. Essa é uma das patologias da curva. A soma que representa seu perímetro fica tão grande quanto se queira, é infinita. A área cresce, mas a soma que a representa é finita: é o limite de uma série convergente. Eis aí uma curva simples de comprimento infinito limitando uma área finita. A série que representa a área limitada pela floco de neve converge para um valor que é 8/5 da área do triângulo inicial (FN¹), ou 1,6 vezes a área desse triângulo.
A outra patologia da floco de neve é que é impossível dizer em qualquer dos seus pontos que direção tomará. Não se pode encontrar uma tangente a ela. E se alguém tentar fazer essas mesmas construções mas com o triângulo desenhado apontado para dentro do anterior chegará a outra curva patológica: a antifloco de neve.

Fonte: http://super.abril.com.br